吉木萨尔县第二小学教师研修平台

A. 通过丰富的买例进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型;

B. 用集合与对应的思想理解函数的概念;

C. 理解函数的三要素及函数符号的深刻含义;

D. 会求函数的定义域。

1.数学抽象：函数符号的含义；

2.逻辑推理：函数的概念；

3.数学运算：求函数的定义域；

4.直观想象：由具体例子概括函数的概念。

一、创设式导入

★★初中知识嵌入

1.  初中学习的函数的定义是什么？

【答案】设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的函数.其中x叫自变量，y叫因变量.

2.回顾初中学过哪些函数？

（1）一次函数

（2）正比例函数     

（3）反比例函数

（4）二次函数

二、探究式新课

★★★★★学科思维与深度教学

探究一   函数的概念

问题1.  某“复兴号”高速列车到350km/h后保持匀速运行半小时。这段时间内，列车行进的路程S（单位：km）与运行时间t（单位：h）的关系可以表示为    S=350t。

1.思考：根据对应关系S=350t，这趟列车加速到350km/h后，运行1h就前进了350km，这个说法正确吗？

【答案】不正确。对应关系应为S=350t，其中

，

问题2  某电气维修告诉要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天。如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w（单位：元）是他工作天数d的函数吗？

【答案】是函数，对应关系为w=350d,其中

。

2.思考：在问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么？

【答案】不是。自变量的取值范围不一样。

问题3  如图，是北京市2016年11月23日的空气质量指数变化图。如何根据该图确定这一天内任一时刻th的空气质量指数的值I？你认为这里的I是t的函数吗？

【答案】是，t的变化范围是，I的范围是

。

问题4 国际上常用恩格尔系数                                           反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。上表是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从表中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高。你认为该表给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？

【答案】y的取值范围是，

，   恩格尔系数r是年份y的函数。                                                        

3.思考：上述问题1~问题4中的函数有哪些共同特征？由此你能概括出函数概念的本质特征吗？

【答案】共同特征有：

（1）都包含两个非空数集，用A，B来表示；

（2）都有一个对应关系；

（3）尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应。

4.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function），记作：y=f(x)      x∈A．

x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{ f(x)| x∈A }叫做函数的值域.

5.对函数符号y=f(x)的理解：

（1）、y=f(x)为“y是x的函数”的数学表示，仅是一个函数符号， f(x)不是f与x相乘。

例如：y=3x 1可以写成f(x)= 3x 1。

当x=2时y=7可以写成f(2)=7

想一想：f(a)表示什么意思？f(a)与f(x)有什么区别？

一般地，f(a)表示当x=a时的函数值，是一个常量。f(x)表示自变量x的函数，一般情况下是变量。

（2）、“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，

   如:“y=g(x)”，“y=h(x)”；

6、思考：函数的值域与集合B什么关系？请你说出上述四个问题的值域？

【答案】函数的值域是集合B的子集。问题1和问题2中，值域就是集合B1和B2；问题3和问题4中，值域是B3和B4的真子集。

牛刀小试

1.对于函数y=f (x)，以下说法正确的有(    )

①y是x的函数

②对于不同的x,y的值也不同

③ f(a)表示当x=a时函数f(x)的值，是一个常量

④ f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来

A.1个    B.2个    C.3个    D.4个

【答案】B

练习：一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域：

例1. 函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映的两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画同一类事物中的变量关系和规律。

例如，正比例函数可以用来刻画匀速运动中的路程与时间的关系、一定密度的物体的质量与体积的关系、圆的周长与半径的关系等。

    试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y=x(10-x)来描述。

解：长方形的周长为20，设一边长为x，面积为y，那么y=x(10-x).

其中，x的取值范围是，y的取值范围是 ，对应关系f把每一个长方形的边长x，对应到唯一确定的面积x(10-x).

探究二区间的概念

设a，b是两个实数，而且a<b,我们规定：

⒈满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a，b]

⒉满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a，b)

⒊满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示为[a，b）或（a，b]

这里的实数a，b叫做相应区间的端点

实数集Ｒ可以用区间表示为，把“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”。

注意：

（1）.区间（a,b）,必须有b>a；

（2）.区间只能表示数集；

（3）.区间不能表示单元素集；

（4）.区间不能表示不连续的数集；

（5）.区间的左端点必须小于右端点；

（6）.区间都可以用数轴表示；

（7）.以“－∞”或“＋∞”为区间的一端时，这一端必须是小括号.

牛刀小试

试用区间表示下列实数集合

（1） {x|5 ≤ x<6}         

（2） {x|x ≥9}

（3） {x|x ≤ -1} ∩{x| -5 ≤ x<2}

【答案】（1）[5,6)  （2）

例2  已知函数

(1)求函数的定义域.（2）求的值.

(3）当a>0时，求f(a),f(a-1)的值.

分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如前面所述的三个实例.如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合.

解：（1）有意义的实数x的集合是{x|x≥-3}，有意义的实数x的集合是{x|x≠-2}，所以，这个函数的定义域就是                .

(2)

（3）因为a>0,所以有意义。

，

探究三  函数相等

1.思考：一个函数由哪几个部分组成？如果给定函数的定义域和对应关系，那么函数的值域确定吗？两个函数相等的条件是什么？

【答案】定义域、对应关系、值域；函数的值域由函数的定义域和对应关系所确定；定义域相同，对应关系完全一致.

    例3.下列函数哪个与函数y=x相等

解：这个函数与对应关系一样，定义域不同，所以和函数y=x不相等。

，这个函数与对应关系一样，定义域相同，所以和函数y=x相等。

，这个函数和定义域相同，但是当x<0时，它的对应关系为，所以和不相等。

（4），这个函数与对应关系一样，但定义不同，所以和不相等。

通过复习初中所学函数的定义及基本初等函数，为进一步学习函数的概念打基础，建立知识间的联系。

通过学生对实例或问题的思考，去体验知识方法.通过问题的思考，提高学生的观察、类比推理、概括能力。

通过思考，提高学生的分析问题，概括能力。

进一步理解函数的概念，激发学生探求问题的兴趣。

通过练习，进一步概括函数的概念，提高学生的理解能力。

通过总结初中所学函数的定义域、值域，进一步理解函数的概念，提高学生解决与分析问题的能力。

通过例题，进一步理解函数的概念。

总结区间的注意点，进一步理解区间，通过学生分析、概括能力。

通过练习进一步理解区间，提高学生解决问题的能力。

通过例题，进一步巩固函数的概念，提高学生分析问题，解决问题的能力。

三、达标检测

1．下列图象中表示函数图象的是(　　)

【解析】　根据函数的定义，对任意的一个x都存在唯一的y与之对应，而A、B、D都是一对多，只有C是多对一．故选C.

【答案】　C

2. 下列函数中，与函数y=x相等的是（     ）

【解析】　函数y＝x的定义域为R；y＝()²的定义域为[0，＋∞)；y＝＝|x|，对应关系不同；y＝()(－x，x<0，(x，x>0)对应关系不同；y＝x3(3)＝x，且定义域为R.故选D.

【答案】　D

3．函数y＝x²－2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为(　　)

A．{－1,0,3}B．{0,1,2,3}

C．{y|－1≤y≤3}D．{y|0≤y≤3}

【解析】　当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝1－2＝－1；当x＝2时，y＝4－2?2＝0；当x＝3时，y＝9－2?3＝

3，∴函数y＝x²－2x的值域为{－1,0,3}．

【答案】　A

4．函数f(x)＝＋x－5(1)的定义域是________．

【解析】　∵函数f(x)＝＋x－5(1)，

∴x－5≠0，(x－4≥0)解得x≥4，且x≠5，

∴函数f(x)的定义域是[4,5)∪(5，＋∞)．

【答案】　[4,5)∪(5，＋∞)

5．已知函数f(x)＝x＋x(1)，

(1)求f(x)的定义域；

(2)求f(－1)，f(2)的值；

(3)当a≠－1时，求f(a＋1)的值．

【解】　(1)要使函数f(x)有意义，必须使x≠0，

∴f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．

(2)f(－1)＝－1＋－1(1)＝－2，f(2)＝2＋2(1)＝2(5).

(3)当a≠－1时，a＋1≠0，∴f(a＋1)＝a＋1＋a＋1(1).

通过练习巩固本节所学知识，提高学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

四、小结

1.函数的概念；

2.函数定义域的求法；

3.函数的三要素及函数相等的判断方法。

五、作业

习题3.1    1.（3）、（4）  2.（1）、（2）

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。